Lernziele

In diesem Abschnitt werden Sie:

  • Zeichnen Sie Punkte mit Polarkoordinaten.
  • Wandeln Sie Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten um.
  • Wandeln Sie von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten um.
  • Transformieren Sie Gleichungen zwischen polaren und rechteckigen Formen.
  • Identifizieren und zeichnen Sie Polargleichungen, indem Sie sie in Rechteckgleichungen umwandeln.

Mehr als 12 Kilometer vom Hafen entfernt trifft ein Segelboot auf raues Wetter und wird von einem Wind mit 16 Knoten vom Kurs abgetrieben (siehe (Abbildung)). Wie kann der Matrose der Küstenwache seinen Standort mitteilen? In diesem Abschnitt untersuchen wir eine Methode zur Darstellung von Orten, die sich von einem Standardkoordinatengitter unterscheidet. Abbildung 1.

Zeichnen von Punkten mit Polarkoordinaten

Wenn wir daran denken, Punkte in der Ebene zu zeichnen, denken wir normalerweise an rechtwinklige Koordinaten[latex]\,\left(x,y\right)\,[/latex]in der kartesischen Koordinatenebene. Es gibt jedoch auch andere Schreibweisen für ein Koordinatenpaar und andere Arten von Gittersystemen. In diesem Abschnitt stellen wir Polarkoordinaten vor, die Punkte sind, die mit [latex]\,\left(r,\theta \right)\,[/latex] beschriftet und auf einem Polargitter dargestellt sind. Das Polargitter wird als eine Reihe konzentrischer Kreise dargestellt, die vom Pol oder dem Ursprung der Koordinatenebene ausgehen. Das Polargitter wird als Einheitskreis skaliert, wobei die positive x – Achse nun als Polarachse und der Ursprung als Pol betrachtet wird. Die erste Koordinate[latex]\,r\,[/latex]ist der Radius oder die Länge des gerichteten Liniensegments vom Pol. Der Winkel[latex]\,\theta ,[/latex] gemessen im Bogenmaß, zeigt die Richtung von[latex]\,r.\,[/latex]Wir bewegen uns gegen den Uhrzeigersinn von der Polarachse um einen Winkel von[latex]\ ,\theta ,[/latex]und messen Sie eine gerichtete Strecke der Länge von[latex]\,r\,[/latex]in Richtung von[latex]\,\theta .\,[/latex]Auch wenn wir messen[latex]\,\theta \,[/latex]zuerst und dann[latex]\,r,[/latex] der Polarpunkt wird zuerst mit der r -Koordinate geschrieben. Um beispielsweise den Punkt [latex]\,\left(2,\frac{\pi }{4}\right),[/latex] zu zeichnen, würden wir [latex]\,\frac{\pi }{4 verschieben }\,[/latex]Einheiten gegen den Uhrzeigersinn und dann eine Länge von 2 von der Stange. Dieser Punkt ist auf dem Gitter in (Abbildung) aufgetragen. Figur 2.

Zeichnen eines Punktes auf dem Polargitter

Zeichnen Sie den Punkt[latex]\,\left(3,\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex]auf das Polargitter.

Versuch es

Zeichnen Sie den Punkt[latex]\,\left(2,\,\frac{\pi }{3}\right)\,[/latex]im Polargitter ein.

Zeichnen eines Punktes im Polarkoordinatensystem mit einer negativen Komponente

Zeichnen Sie den Punkt[latex]\,\left(-2,\,\frac{\pi }{6}\right)\,[/latex]auf das Polargitter.

Versuch es

Zeichnen Sie die Punkte[latex]\,\left(3,-\frac{\pi }{6}\right)[/latex]und[latex]\,\left(2,\frac{9\pi }{4). }\right)\,[/latex]auf demselben polaren Gitter.

Konvertieren von Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten

Wenn wir einen Satz Polarkoordinaten erhalten, müssen wir sie möglicherweise in rechtwinklige Koordinaten umwandeln. Dazu können wir uns an die Beziehungen erinnern, die zwischen den Variablen[latex]\,x,\,y,\,r,\,[/latex]und[latex]\,\theta .[/latex] bestehen. [latex]\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ \mathrm{cos}\,\theta =\frac{x}{r}\to x=r\mathrm{cos}\ ,\theta \end{array}\hfill \\ \mathrm{sin}\,\theta =\frac{y}{r}\to y=r\mathrm{sin}\,\theta \hfill \end{array }[/Latex] Durch Fallenlassen einer Senkrechten vom Punkt in der Ebene zur x – Achse entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, wie in (Abbildung) dargestellt. Eine einfache Art, sich die obigen Gleichungen zu merken, ist, sich [latex]\,\mathrm{cos}\,\theta \,[/latex] als die angrenzende Seite über der Hypotenuse und [latex]\,\mathrm{sin} vorzustellen. \,\theta \,[/latex] als Gegenseite über der Hypotenuse. Abbildung 5.

Konvertieren von Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten

Um Polarkoordinaten[latex]\,\left(r,\,\theta \right)\,[/latex]in rechtwinklige Koordinaten[latex]\,\left(x,\,y\right),[/latex ] Lassen [latex]\mathrm{cos}\,\theta =\frac{x}{r}\to x=r\mathrm{cos}\,\theta [/latex] [latex]\mathrm{sin}\,\theta =\frac{y}{r}\to y=r\mathrm{sin}\,\theta [/latex]

Wie man

Gegebene Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten umwandeln.

  1. Gegeben sei die Polarkoordinate[latex]\,\left(r,\theta\right),[/latex] schreibe[latex]\,x=r\mathrm{cos}\,\theta \,[/latex]und[ latex]\,y=r\mathrm{sin}\,\theta .[/latex]
  2. Evaluiere[latex]\,\mathrm{cos}\,\theta \,[/latex]und[latex]\,\mathrm{sin}\,\theta .[/latex]
  3. Multipliziere [latex]\,\mathrm{cos}\,\theta \,[/latex]mit[latex]\,r\,[/latex], um die x- Koordinate der rechteckigen Form zu finden.
  4. Multipliziere [latex]\,\mathrm{sin}\,\theta \,[/latex]mit[latex]\,r\,[/latex], um die y- Koordinate der rechteckigen Form zu finden.

Schreiben von Polarkoordinaten als rechtwinklige Koordinaten

Schreiben Sie die Polarkoordinaten[latex]\,\left(3,\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex] als rechtwinklige Koordinaten.

Schreiben von Polarkoordinaten als rechtwinklige Koordinaten

Schreiben Sie die Polarkoordinaten[latex]\,\left(-2,0\right)\,[/latex] als rechtwinklige Koordinaten.

Versuch es

Schreiben Sie die Polarkoordinaten[latex]\,\left(-1,\frac{2\pi }{3}\right)\,[/latex] als rechtwinklige Koordinaten.

Umrechnung von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten

Um rechtwinklige Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln, verwenden wir zwei andere bekannte Beziehungen. Bei dieser Konvertierung müssen wir uns jedoch bewusst sein, dass ein Satz rechtwinkliger Koordinaten mehr als einen Polarpunkt ergibt.

Umrechnung von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten

Die Umwandlung von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten erfordert die Verwendung einer oder mehrerer der in (Abbildung) dargestellten Beziehungen. [latex]\begin{array}{l}\mathrm{cos}\,\theta =\frac{x}{r}\,\,\text{ oder}\,\,\,x=r\mathrm{ cos}\,\theta \hfill \\ \mathrm{sin}\,\theta =\frac{y}{r}\,\,\text{ oder}\,\,\,y=r\mathrm{sin }\,\theta \hfill \\ \,\,\,\,\,\,{r}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}\hfill \\ \mathrm {tan}\,\theta =\frac{y}{x}\,\hfill \end{array}[/latex] Abbildung 8.

Rechtwinklige Koordinaten als Polarkoordinaten schreiben

Wandle die rechtwinkligen Koordinaten[latex]\,\left(3,3\right)\,[/latex]in Polarkoordinaten um.

Analyse

Es gibt andere Sätze von Polarkoordinaten, die mit unserer ersten Lösung identisch sind. Zum Beispiel die Punkte[latex]\,\left(-3\sqrt{2},\,\frac{5\pi }{4}\right)\,[/latex]und[latex]\,\left (3\sqrt{2},-\frac{7\pi }{4}\right)\,[/latex]wird mit der ursprünglichen Lösung von[latex]\,\left(3\sqrt{2}, \,\frac{\pi }{4}\right).\,[/latex]Der Punkt[latex]\,\left(-3\sqrt{2},\,\frac{5\pi }{4 }\right)\,[/latex]zeigt eine Bewegung weiter gegen den Uhrzeigersinn um[latex]\,\pi ,\,[/latex]an, was direkt gegenüber[latex]\,\frac{\pi }{4} ist.\ ,[/latex]Der Radius wird ausgedrückt als[latex]\,-3\sqrt{2}.\,[/latex]Der Winkel[latex]\,\frac{5\pi }{4}\, [/latex] befindet sich im dritten Quadranten, und da [latex]\,r\,[/latex] negativ ist, verlängern wir das gerichtete Liniensegment in die entgegengesetzte Richtung, in den ersten Quadranten. Dies ist derselbe Punkt wie[latex]\,\left(3\sqrt{2},\,\,\frac{\pi }{4}\right).\,[/latex]Der Punkt[latex]\ ,\left(3\sqrt{2},\,-\frac{7\pi }{4}\right)\,[/latex]ist eine Bewegung weiter im Uhrzeigersinn um[latex]\,-\frac{7\ pi }{4},\,[/latex]aus[latex]\,\frac{\pi }{4}.\,[/latex]Der Radius,[latex]\,3\sqrt{2},\ ,[/latex]ist dasselbe.

Transformieren von Gleichungen zwischen polaren und rechteckigen Formen

Wir können jetzt Koordinaten zwischen Polar- und Rechteckform umwandeln. Das Konvertieren von Gleichungen kann schwieriger sein, aber es kann von Vorteil sein, zwischen den beiden Formen konvertieren zu können. Da es eine Reihe von Polargleichungen gibt, die nicht eindeutig in kartesischer Form ausgedrückt werden können, und umgekehrt, können wir die gleichen Verfahren verwenden, die wir zum Umrechnen von Punkten zwischen den Koordinatensystemen verwendet haben. Wir können dann einen Grafikrechner verwenden, um entweder die Rechteckform oder die Polarform der Gleichung grafisch darzustellen.

Wie man

Stellen Sie eine gegebene Gleichung in Polarform mit einem Grafikrechner grafisch dar.

  1. Ändern Sie den MODE auf POL , was die Polarform darstellt.
  2. Drücken Sie die Taste Y= , um einen Bildschirm aufzurufen, der die Eingabe von sechs Gleichungen ermöglicht: [latex]\,{r}_{1},\,\,{r}_{2},\,\,.\,\ ,.\,\,.\,\,,\,\,{r}_{6}.[/latex]
  3. Geben Sie die Polargleichung ein und setzen Sie sie gleich [latex]\,r.[/latex]
  4. Drücken Sie GRAFIK .

Schreiben einer kartesischen Gleichung in Polarform

Schreiben Sie die kartesische Gleichung[latex]\,{x}^{2}+{y}^{2}=9\,[/latex]in Polarform.

Umschreiben einer kartesischen Gleichung in eine Polargleichung

Schreiben Sie die kartesische Gleichung[latex]\,{x}^{2}+{y}^{2}=6y\,[/latex]als Polargleichung um.

Umschreiben einer kartesischen Gleichung in Polarform

Schreiben Sie die kartesische Gleichung[latex]\,y=3x+2\,[/latex]als Polargleichung um.

Versuch es

Schreiben Sie die kartesische Gleichung[latex]\,{y}^{2}=3-{x}^{2}\,[/latex]in Polarform um.

Polare Gleichungen identifizieren und grafisch darstellen, indem sie in rechteckige Gleichungen umgewandelt werden

Wir haben gelernt, rechtwinklige Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln, und wir haben gesehen, dass die Punkte tatsächlich gleich sind. Wir haben auch Polargleichungen in Rechteckgleichungen umgewandelt und umgekehrt. Jetzt werden wir zeigen, dass ihre Graphen, obwohl sie auf verschiedenen Gittern gezeichnet sind, identisch sind.

Grafische Darstellung einer Polargleichung durch Umwandlung in eine Rechteckgleichung

Wandeln Sie die Polargleichung [latex]\,r=2\mathrm{sec}\,\theta \,[/latex] in eine Rechteckgleichung um und zeichnen Sie den dazugehörigen Graphen.

Umschreiben einer Polargleichung in kartesischer Form

Schreibe die Polargleichung[latex]\,r=\frac{3}{1-2\mathrm{cos}\,\theta }\,[/latex]als kartesische Gleichung um.

Analyse

In diesem Beispiel kann die rechte Seite der Gleichung erweitert und die Gleichung weiter vereinfacht werden, wie oben gezeigt. Die Gleichung kann jedoch nicht als einzelne Funktion in kartesischer Form geschrieben werden. Vielleicht möchten wir die Rechteckgleichung in der Standardform der Hyperbel schreiben. Dazu können wir mit der Anfangsgleichung beginnen. [latex]\begin{array}{ll}\,\text{ }{x}^{2}+{y}^{2}={\left(3+2x\right)}^{2}\hfill & \hfill \\ \,\,\text{ }{x}^{2}+{y}^{2}-{\left(3+2x\right)}^{2}=0\hfill & \ hfill \\ {x}^{2}+{y}^{2}-\left(9+12x+4{x}^{2}\right)=0\hfill & \hfill \\ \,\text { }{x}^{2}+{y}^{2}-9-12x-4{x}^{2}=0\hfill & \hfill \\ \,\text{ }-3{x} ^{2}-12x+{y}^{2}=9\hfill & \text{Durchmultiplizieren mit }-1.\hfill \\ \,\,\text{ }\,3{x}^{2} +12x-{y}^{2}=-9\hfill & \hfill \\ \,\,\text{ }\,3\left({x}^{2}+4x+\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\right)-{y}^{2}=-9\hfill & \text{Organisieren Sie die Terme, um das Quadrat für}\,x zu vervollständigen.\hfill \\ \,\ ,\text{ }\,3\left({x}^{2}+4x+4\right)-{y}^{2}=-9+12\hfill & \hfill \\ \text{ }3 {\left(x+2\right)}^{2}-{y}^{2}=3\hfill & \hfill \\ \,\text{ }{\left(x+2\right)}^ {2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1\hfill & \hfill \end{array}[/latex]

Versuch es

Schreiben Sie die Polargleichung [latex]\,r=2\mathrm{sin}\,\theta \,[/latex] in kartesische Form um.

Umschreiben einer Polargleichung in kartesischer Form

Schreiben Sie die Polargleichung [latex]\,r=\mathrm{sin}\left(2\theta \right)\,[/latex] in kartesischer Form um.

Schlüsselgleichungen

Umrechnungsformeln [latex]\begin{array}{ll}\hfill & \mathrm{cos}\,\theta =\frac{x}{r}\to x=r\mathrm{cos}\,\theta \hfill \\ \hfill & \mathrm{sin}\,\theta =\frac{y}{r}\to y=r\mathrm{sin}\,\theta \hfill \\ \hfill & \,\,\,\, \,\,\,{r}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}\hfill \\ \hfill & \mathrm{tan}\,\theta =\frac{y }{x}\hfill \end{array}[/latex]

Schlüssel Konzepte

  • Das Polargitter wird als eine Reihe konzentrischer Kreise dargestellt, die vom Pol oder Ursprung ausstrahlen.
  • Um einen Punkt in der Form[latex]\,\left(r,\theta \right),\,\theta >0,\,[/latex]zu zeichnen, bewegen Sie sich von der Polarachse gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel von [ latex]\,\theta ,\,[/latex]und verlängere dann ein gerichtetes Liniensegment vom Pol um die Länge von [latex]\,r\,[/latex] in Richtung von [latex]\,\theta . \,[/latex]Wenn[latex]\,\theta \,[/latex]negativ ist, bewege dich im Uhrzeigersinn und verlängere ein gerichtetes Liniensegment um die Länge von [latex]\,r\,[/latex] in Richtung [latex]\,\theta .[/latex] Siehe (Abbildung).
  • Wenn [latex]\,r\,[/latex]negativ ist, verlängern Sie das gerichtete Liniensegment in die entgegengesetzte Richtung von [latex]\,\theta .\,[/latex]Siehe (Abbildung).
  • Um von Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten umzuwandeln, verwenden Sie die Formeln[latex]\,x=r\mathrm{cos}\,\theta \,[/latex]und[latex]\,y=r\mathrm{sin}\ ,\theta .\,[/latex]Siehe (Abbildung) und (Abbildung).
  • Um von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln, verwenden Sie eine oder mehrere der Formeln:[latex]\,\mathrm{cos}\,\theta =\frac{x}{r},\mathrm{sin}\,\theta =\frac{y}{r},\mathrm{tan}\,\theta =\frac{y}{x},\,[/latex]und[latex]\,r=\sqrt{{x}^ {2}+{y}^{2}}.\,[/latex]Siehe (Abbildung).
  • Um Gleichungen zwischen polaren und rechteckigen Formen umzuwandeln, müssen die entsprechenden Substitutionen basierend auf den verfügbaren Formeln zusammen mit algebraischen Manipulationen vorgenommen werden. Siehe (Abbildung), (Abbildung) und (Abbildung).
  • Die Verwendung der entsprechenden Substitutionen ermöglicht es, eine Polargleichung in eine Rechteckgleichung umzuschreiben und sie dann in der Rechteckebene grafisch darzustellen. Siehe (Abbildung), (Abbildung) und (Abbildung).

Abschnitt Übungen

Verbale

Wie unterscheiden sich Polarkoordinaten von rechtwinkligen Koordinaten? Wie unterscheiden sich die Polarachsen von den x- und y -Achsen der kartesischen Ebene? Erklären Sie, wie Polarkoordinaten grafisch dargestellt werden. Wie sind die Punkte[latex]\,\left(3,\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex]und[latex]\,\left(-3,\frac{\pi } {2}\right)\,[/latex]bezogen? Erklären Sie, warum die Punkte[latex]\,\left(-3,\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex]und[latex]\,\left(3,-\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex]sind gleich.

Algebraisch

Wandeln Sie für die folgenden Aufgaben die angegebenen Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten um mit [latex]\,r>0\,[/latex]und[latex]\,0\le \theta \le 2\pi .\,[/latex ]Denken Sie daran, den Quadranten zu berücksichtigen, in dem sich der gegebene Punkt befindet, wenn Sie [latex]\,\theta \,[/latex]für den Punkt bestimmen. [latex]\left(7,\frac{7\pi }{6}\right)[/latex] [latex]\left(5,\pi\right)[/latex] [latex]\left(6,-\frac{\pi }{4}\right)[/latex] [latex]\left(-3,\frac{\pi }{6}\right)[/latex] [latex]\left(4,\frac{7\pi }{4}\right)[/latex] Wandeln Sie für die folgenden Übungen die angegebenen kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten um mit[latex]\,r>0,\,\,0\le \theta <2\pi .\,[/latex]Denken Sie daran, den Quadranten zu berücksichtigen, in dem der angegebene Punkt liegt. [latex]\left(4,2\right)[/latex] [latex]\left(-4,6\right)[/latex] [latex]\left(3,-5\right)[/latex] [latex]\left(-10,-13\right)[/latex] [latex]\left(8,8\right)[/latex] Wandeln Sie für die folgenden Aufgaben die gegebene kartesische Gleichung in eine Polargleichung um. [latex]y=4{x}^{2}[/latex] [latex]y=2{x}^{4}[/latex] [latex]{x}^{2}+{y}^{2}=4y[/latex] [latex]{x}^{2}+{y}^{2}=3x[/latex] [latex]{x}^{2}-{y}^{2}=x[/latex] [latex]{x}^{2}-{y}^{2}=3y[/latex] [latex]{x}^{2}+{y}^{2}=9[/latex] [latex]{x}^{2}=9y[/latex] [latex]{y}^{2}=9x[/latex] Wandeln Sie für die folgenden Aufgaben die gegebene Polargleichung in eine kartesische Gleichung um. Schreiben Sie, wenn möglich, in der Standardform eines Kegelschnitts und identifizieren Sie den dargestellten Kegelschnitt. [latex]r=3\mathrm{sin}\,\theta [/latex] [latex]r=4\mathrm{cos}\,\theta [/latex] [latex]r=\frac{4}{\mathrm{sin}\,\theta +7\mathrm{cos}\,\theta }[/latex] [latex]r=\frac{6}{\mathrm{cos}\,\theta +3\mathrm{sin}\,\theta }[/latex] [latex]r=2\mathrm{sec}\,\theta [/latex] [latex]r=3\mathrm{csc}\,\theta [/latex] [latex]r=\sqrt{r\mathrm{cos}\,\theta +2}[/latex] [latex]{r}^{2}=4\mathrm{sec}\,\theta \,\mathrm{csc}\,\theta [/latex] [latex]r=\frac{1}{4\mathrm{cos}\,\theta -3\mathrm{sin}\,\theta }[/latex] [latex]r=\frac{3}{\mathrm{cos}\,\theta -5\mathrm{sin}\,\theta }[/latex]

Grafisch

Finden Sie für die folgenden Aufgaben die Polarkoordinaten des Punktes. Zeichnen Sie für die folgenden Übungen die Punkte ein. [latex]\left(-2,\frac{\pi }{3}\right)[/latex] [latex]\left(-1,-\frac{\pi }{2}\right)[/latex] [latex]\left(3.5,\frac{7\pi }{4}\right)[/latex] [latex]\left(-4,\frac{\pi }{3}\right)[/latex] [latex]\left(5,\frac{\pi }{2}\right)[/latex] [latex]\left(4,\frac{ -5\pi }{4}\right)[/latex] [latex]\left(3,\frac{5\pi }{6}\right)[/latex] [latex]\left(-1.5,\frac{7\pi }{6}\right)[/latex] [latex]\left(-2,\frac{\pi }{4}\right)[/latex] [latex]\left(1,\frac{3\pi }{2}\right)[/latex] Wandeln Sie für die folgenden Übungen die Gleichung von der rechteckigen in die polare Form um und zeichnen Sie sie auf der Polarachse. [latex]{x}^{2}+{\left(y-1\right)}^{2}=1[/latex] [latex]{\left(x+2\right)}^{2}+{\left(y+3\right)}^{2}=13[/latex] [latex]{x}^{2}+{y}^{2}=5y[/latex] [latex]{x}^{2}+{y}^{2}=3x[/latex] Wandeln Sie für die folgenden Übungen die Gleichung von der polaren in die rechteckige Form um und zeichnen Sie sie auf der rechteckigen Ebene. [latex]\theta =-\frac{2\pi }{3}[/latex] [latex]\theta =\frac{\pi }{4}[/latex] [latex]r=\mathrm{sec}\,\theta [/latex] [latex]r=-10\mathrm{sin}\,\theta [/latex] [latex]r=3\mathrm{cos}\,\theta [/latex]

Technologie

Verwenden Sie einen Grafikrechner, um die rechtwinkligen Koordinaten von[latex]\,\left(2,-\frac{\pi }{5}\right).\,[/latex]Runden Sie auf das nächste Tausendstel. Verwenden Sie einen Grafikrechner, um die rechtwinkligen Koordinaten von[latex]\,\left(-3,\frac{3\pi }{7}\right).\,[/latex]Runden Sie auf das nächste Tausendstel. Benutze einen Grafikrechner, um die Polarkoordinaten von [latex]\,\left(-7,8\right)\,[/latex]in Grad zu finden. Runden Sie auf das nächste Tausendstel. Benutze einen Grafikrechner, um die Polarkoordinaten von [latex]\,\left(3,-4\right)\,[/latex]in Grad zu finden. Runden Sie auf das nächste Hundertstel. Verwenden Sie einen Grafikrechner, um die Polarkoordinaten von [latex]\,\left(-2,0\right)\,[/latex] im Bogenmaß zu ermitteln. Runden Sie auf das nächste Hundertstel.

Erweiterungen

Beschreiben Sie den Graphen von[latex]\,r=a\mathrm{sec}\,\theta ;a>0.[/latex] Beschreiben Sie den Graphen von[latex]\,r=a\mathrm{sec}\,\theta ;a<0.[/latex] Beschreiben Sie den Graphen von[latex]\,r=a\mathrm{csc}\,\theta ;a>0.[/latex] Beschreiben Sie den Graphen von[latex]\,r=a\mathrm{csc}\,\theta ;a<0.[/latex] Welche Polargleichungen ergeben eine schräge Linie? Zeichnen Sie für die folgende Übung die polare Ungleichung. [latex]0\le \theta \le \frac{\pi }{4}[/latex] [latex]\theta =\frac{\pi }{4},\,r\,\ge \,2[/latex] [latex]\theta =\frac{\pi }{4},\,r\,\ge -3[/latex] [latex]0\le \theta \le \frac{\pi }{3},\,r\,<\,2[/latex] [latex]\frac{ -\pi }{6}<\theta \le \frac{\pi }{3},-3<r\,<\,2[/latex]

Glossar

Polarachse
auf dem polaren Gitter das Äquivalent der positiven x- Achse auf dem rechteckigen Gitter
Polar Koordinaten
auf dem Polargitter die Koordinaten eines Punktes mit der Bezeichnung [latex]\,\left(r,\theta \right),\,[/latex], wobei [latex]\,\theta \,[/latex]den Winkel angibt der Rotation von der Polarachse und[latex]\,r\,[/latex]repräsentiert den Radius oder den Abstand des Punktes vom Pol in Richtung von[latex]\,\theta [/latex]
Pole
Der Ursprung des Polargitters

Polarkoordinaten sind eine äußerst nützliche Ergänzung Ihres mathematischen Werkzeugkastens, da Sie damit Probleme lösen können, die äußerst hässlich wären, wenn Sie sich auf standardmäßige x- und y-Koordinaten verlassen würden. Um vollständig zu verstehen, wie man Polarkoordinaten zeichnet, müssen Sie sehen, wie eine Polarkoordinatenebene aussieht. Eine leere Polarkoordinatenebene (keine Dartscheibe). Eine leere Polarkoordinatenebene (keine Dartscheibe) In der Abbildung können Sie sehen, dass die Ebene kein Gitter aus rechtwinkligen Koordinaten mehr ist; Stattdessen handelt es sich um eine Reihe konzentrischer Kreise um einen zentralen Punkt, den sogenannten Pol. Die Ebene erscheint so, weil die Polarkoordinaten einen bestimmten Radius und einen bestimmten Winkel in der Standardposition vom Pol haben. Jeder Kreis stellt eine Radiuseinheit dar, und jede Linie stellt die speziellen Winkel aus dem Einheitskreis dar. Weil Sie alle Punkte auf der Polarebene als schreiben Bild1.png Um einen Punkt auf der Polarebene zu zeichnen, sollten Sie zuerst Theta finden und dann r auf dieser Linie lokalisieren. Mit diesem Ansatz können Sie die Position eines Punkts irgendwo auf einer der Linien einschränken, die den Winkel darstellen. Von dort aus können Sie einfach vom Pol aus den radialen Abstand herauszählen. Wenn Sie den anderen Weg gehen und mit r beginnen, geraten Sie möglicherweise in Schwierigkeiten, wenn die Probleme komplizierter werden.

Beispiel für das Plotten von Polarkoordinaten

Zum Beispiel, um Punkt E zu zeichnen Bild2.png die sowohl für den Radius als auch für den Winkel einen positiven Wert hat – Sie bewegen sich einfach von der Stange gegen den Uhrzeigersinn, bis Sie den entsprechenden Winkel (Theta) erreichen. Sie starten dort in der folgenden Liste:

  1. Suchen Sie den Winkel auf der Polarkoordinatenebene. Beziehen Sie sich auf die Abbildung, um den Winkel zu finden:image3.png
  2. Bestimme, wo der Radius den Winkel schneidet. Da der Radius 2 (r = 2) ist, beginnst du am Pol und bewegst dich um 2 Punkte in Richtung des Winkels.
  3. Zeichne den gegebenen Punkt. Zeichne am Schnittpunkt von Radius und Winkel auf der Polarkoordinatenebene einen Punkt und nenne es einen Tag! Diese Figur zeigt Punkt E auf der Ebene.Visualisierung einfacher und komplexer Polarkoordinaten. Visualisierung einfacher und komplexer Polarkoordinaten

Polarkoordinatenpaare können positive Winkel oder negative Winkel für Theta-Werte haben. Außerdem können sie positive und negative Radien haben. Dieses Konzept mag neu sein; In früheren Kursen haben Sie vielleicht schon immer gehört, dass ein Radius positiv sein muss. Bei der grafischen Darstellung von Polarkoordinaten kann der Radius jedoch negativ sein, was bedeutet, dass Sie sich in die entgegengesetzte Richtung des Winkels vom Pol bewegen. Da Polarkoordinaten im Gegensatz zu kartesischen Koordinaten auf Winkeln basieren, haben Polarkoordinaten viele verschiedene geordnete Paare. Da unendlich viele Theta-Werte in Standardlage denselben Winkel haben, beschreiben unendlich viele Koordinatenpaare denselben Punkt. Außerdem können ein positiver und ein negativer Co-Terminal-Winkel denselben Punkt für denselben Radius beschreiben, und da der Radius entweder positiv oder negativ sein kann, können Sie den Punkt auf viele Arten mit Polarkoordinaten ausdrücken.

Über diesen Artikel

Dieser Artikel stammt aus dem Buch:

  • Vorkalkulation für Dummies ,

Über den Buchautor:

Mary Jane Sterling hat mehr als 30 Jahre lang Algebra, Wirtschaftsrechnung, Geometrie und endliche Mathematik an der Bradley University in Peoria, Illinois, studiert. Sie ist Autorin mehrerer For Dummies-Bücher, darunter Algebra Workbook For Dummies, Algebra II For Dummies und Algebra II Workbook For Dummies.

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